圆与圆的位置关系

圆与圆的五种位置关系是什么？

圆与圆的位置关系有五种：即外离、外切、相交、内切、内含。设两个圆的半径为R和r，圆心距为d。则有以下五种关系：1、d>R+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。2、d=R+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。3、d=R-r两圆内切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之差。4、d＜R-r两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。5、d＜R+r两园相交；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之和。圆的性质：1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。2、有关圆周角和圆心角的性质和定理。在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。以上内容参考：百度百科-圆

圆与圆的五种位置关系是什么？

圆和圆位置关系：①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，则结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；内切P=R-r；相交R-r<P<R+r。点和圆位置关系：①P在圆O外，则 PO>r。②P在圆O上，则 PO=r。③P在圆O内，则 PO<r。反之亦然。平面内，点P(x0,y0)与圆(x-a)²+(y-b)²=r²的位置关系判断一般方法是：①如果(x0-a)²+(y0-b)²<r²，则P在圆内。②如果(x0-a)²+(y0-b)²=r²，则P在圆上。③如果(x0-a)²+(y0-b)²>r²，则P在圆外。直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d<r。③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。圆心与切点的连线垂直于切线。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到直线的距离）

【圆和圆的位置关系】 圆的五种位置关系

《圆和圆的位置关系》

教学内容

1. 圆和圆的五种位置关系。 2. 五种位置关系的性质和判定。

1. 重点：两圆的五种位置中两圆半径、圆心距的数量之间的关系。 2. 难点：如何得出两圆的五种位置中两圆半径、圆心距的数量关系。 教学设计

一、创设情境、导入新课 1．复习提问：

（1）直线和圆的位置关系是怎样得来的。课件展示其过程。 ①圆固定不动，一条直线经过平移，观察交点的个数得来的；

根据上述图形让学生观察，引导学生易得出它们的性质和判定：

一．选择

1. （2009年泸州）已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为

A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 【答案】C

2. (2009年滨州) 已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（） A ．0

3. （2009年台州市）大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（）

A ．外离 B ．外切 C．相交 D ．内含 【答案】A

4. （2009年漳州）如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在⊙O 上，AC =CD ，

B ．d >5

C ．05

0≤d 5 D ．

∠D =30°，

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

的长．（2）若⊙O 的半径为3，求BC （结果保留π）

【答案】（1）证明：连结OC ，

AC =CD ，∠D =30°， ∴∠A =∠D =30° OA =OC ， ∴∠2=∠A =30°， ∴∠1=60°， ∴∠OCD =90°． ∴CD 是⊙O 的切线．

（2） ∠1=60°，

的长=∴BC

n πR 60⨯π⨯3

==π． 180180

的长为π． 答：BC

课后练习

1．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（） A ．内切

B ．相交

C ．外切 D ．外离

2（2009年衢州）外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是 A ．11

B ．7

C ．4

D ．3

3. . （2009年益阳市）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是

A ．

B ．

C ．

D ．

4.. （2009肇庆）10．若⊙O 1与⊙O 2相切，且O 1O 2=5，⊙O 1的半径r 1=2，则⊙O 2的半径r

2是（）

A ． 3 B ．5 C ． 7 D ． 3 或7

5. （2009年遂宁）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，

则图中阴影部分的面积是

A.4π-8 B. 8π-16 C.16π-16 D. 16π-32

6. （2009年齐齐哈尔市）已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，则这两个圆的圆心距是______________．

0) ，以点O 1为圆心，7. （2009年凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为(-4，

8为半径的圆与x 轴交于A ，B 两点，过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角，且交y 轴于C 点，以点O 2(13，5) 为圆心的圆与x

轴相切于点D ． （1）求直线l 的解析式；

（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，当⊙O 2第一次与⊙O 1外切时，求⊙O 2平移的时间．

8. （2009年枣庄市）如图，线段AB 与⊙O 相切于点C ，连结OA ，OB ，OB 交⊙O 于点D ，已知OA =OB =6，

AB =

D

A

C

B

（1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积．

9.(2009年上海市) ．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM ∥x 轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y =x +b （b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ． （1）求b 的值和点D 的坐标；

（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若△POD 是等腰三角形，求点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切，求⊙O 的半径．

正多边形与圆 重难点、关键

1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系． 2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、•弦心距、边长

x

b

之间的关系．

定义：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点． 二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，•正六边形ABCDEF ，连结AD 、CF 交于一点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，那么肯定B 、C 、•D 、E 、F 都在这个圆上． 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O •分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF ，下面证明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF

11

BCF=（BC+CD+DE+EF）=2BC 2211

∠B=CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD

22

又∴∠A=

∴∠A=∠B

同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 又六边形ABCDEF 的顶点都在⊙O 上

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆． 为了今后学习和应用的方便，•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心． 外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 例1．已知正六边形ABCDEF ，如图所示，其外接圆的半径是a ，

•求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB 的长，已知条件是外接

圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接

OA ，过O 点作OM ⊥AB 垂于M ，在Rt △AOM •中便可求得AM ，又应用垂径定理可求得AB 的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的． 解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于

360

=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径． 6

11AB=a 22

因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a，AM=利用勾股定理，可得边心距

1

2

113

×AB ×OM=6××a

222∴所求正六边形的面积=6×

2

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

例2．利用你手中的工具画一个边长为3cm 的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，•应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB=360

5

=72°， 如图，∠AOC=30°，OA=

1

2

AB ÷sin36°=1.5÷sin36°≈2.55（cm ）

画法（1）以O 为圆心，OA=2.55cm为半径画圆；

（2）在⊙O 上顺次截取边长为3cm 的AB 、BC 、CD 、DE 、EA ． （3）分别连结AB 、BC 、CD 、DE 、EA ．

则正五边形ABCDE 就是所要画的正五边形，如图所示． 课后作业 一．选择

1．（2009年哈尔滨）圆锥的底面半径为8，母线长为9，则该圆锥的侧面积为（ A ．36π B ．48π C ．72π D ．144π

2. （2009年台州市），⊙O 的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）

A

B

C ．

D

3.

（2009

年济宁市）一个几何体的三视图如右图所示，那么这个几何体的侧面积是 A. 4π

B.6π C. 8π D. 12π

）．

1. （2009年杭州市）如图，有一个圆O 和两个正六边形T 1，T 2．T 1的6个顶点都在圆周上，

T 2的6条边都和圆O 相切（我们称T 1，T 2分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）设T 1，T 2的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求r :a 及r :b 的值；

（2）求正六边形T 1，T 2的面积比S 1:S 2的值．.

，BC =，⊙A 2．（2009年内蒙古包头）如图，在△ABC

中，AB =AC ，∠A =120°

与BC 相切于点D ，且交AB 、AC 于M 、

N 两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．

CDADB (4

7. 【答案】（1）解：由题意得OA =|-4|+

|8|=12，

∴A 点坐标为(-12，0) ．

在Rt △AOC 中，∠OAC =60

°，

OC =OA tan

∠OAC =12⨯tan60°=

∴C 点的坐标为(0，-．

设直线l 的解析式为y =kx +b ， 由l 过A 、C 两点，

⎧⎪-=b 得⎨ ⎪⎩0=-

12k +b

⎧⎪b =-解得⎨，∴直线l 的解析式为：

y =-

⎪⎩k =（2）如图，设⊙O 2平移t 秒后到⊙O 3处与⊙O 1第一次外切于点P ，⊙O 3与x 轴相切于D 1点，连接O 1O 3，O 3D 1．则OO O 3D 1⊥x 轴，∴O 3D 1=5，13=O 1P +PO 3=8+5=13，在Rt △O 1O 3D 1中，

O 1D 1==12． O 1D =OO 1+OD =4+13=17，

∴D 1D =O 1D -O 1D 1=17-12=5，∴t =

8. 【答案】（1）连结OC ，则OC ⊥AB ． ∵OA =OB ， ∴

AC =BC =

5

=5（秒），∴⊙O 2平移的时间为5秒． 1

11

AB =⨯= 22

在Rt △AOC 中，OC ==∴⊙O 的半径为3．

=3．

（2）∵OC =

1

OB , ∴∠B =30o , ∠COD =60o ． 2

∴扇形OCD 的面积为

60⨯π⨯323

=π． S 扇形OCD =

2360

阴影部分的面积为

S 阴影=S Rt ΔOBC -S 扇形OCD

=

133

OC ⋅CB －

π－π． 2229. 【答案】（1）∵点B 与点A （1，0）关于原点对称， ∴B （－1，0）

∵直线y =x +b （b 为常数）经过点B （－1，0） ∴b=1

在直线y =x +1中令y=4，得x=3 ∴D （3，4）

（2）若△POD 是等腰三角形，有三种可能： i ）若OP=OD=3+4=5，则P 1（5，0）

ii ）若DO=DP，则点P 和点O 关于直线x=3对称，得P 2（6，0）

iii ）若OP=DP，设此时P （m ，0），则由勾股定理易得m =(m -3)+4，解得m =

2

2

2

22

25

，6

得P 3（

25

，0） 6

（3）由（2）的解答知，

i ）当P 1（5，0）时，OP=OD=3+4=5，

由勾股定理易知PD=25；故此时⊙O 的半径r =5-25 ii ）当P 2（6，0）时，DO=DP=5，故此时⊙O 的半径r =1 iii ）当P 3（

2

2

25

，0）时，以PD 为半径的圆过原点O ，不存在与⊙P 外切的⊙O 。 6

CCB 【关键词】弧长. 弓形面积及简单组合图形的面积

【答案】（1）连接圆心O 和T 1

的6个顶点可得6个全等的正三角形 .

所以r ∶a=1∶1;

连接圆心O 和T 2相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，

所以r ∶

b=3∶2;

（2） T 1∶T 2的连长比是3∶2，所以S 1∶S 2=(a :b ) =3:4

2π

3

【解析】本题考查三角形和扇形面积的求法及三角函数有内容。图中阴影部分的面积等于S

∆ABC -

S 扇形AMN ，连结AD ，在ΔABC中，AB=AC，∠A=120，⊙A 与BC 相交于点

D ，

则AD ⊥BC ，BD

=11

11BC =⨯=，∠BAD=∠BAC=⨯120=60，∴∠B=30°，2222

AD=BD⨯tan ∠tan 30=1，

∴S ∆ABC -S 扇形AMN

1120π⨯12π=⨯1⨯=. 23603