九点圆

急求，九点圆圆心位置如何确定，和九点圆如何证明

在九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N,垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）证明：（由中位线）PM平行CH，LM平行AB，又CH垂直AB∴PM垂直LM，又PD垂直LD，∴PMDL共圆。（由中位线）PR平行AC，LR平行BH，BH垂直AC，所以PR垂直LR∴PMRDL五点共圆。PE为直角三角形AHE斜边中线，角PEA等于PAE，同理角LEC等于LCE所以角PEL等于180减去PEA,LEC等于90°，∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径，所以PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PHOLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点 证毕P.S.以上证明应该都是初中水平能看懂的. 参考资料：南充高中数学竞赛讲义

九点圆的简单证法

作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N,垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）证明：（由中位线）PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD∴PMDL共圆。（由中位线）PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR∴PMRDL五点共圆。PE为Rt△AHE斜边中线∴角PEA等于PAE同理∠LEC等于∠LCE所以∠PEL等于180减去∠ADC∴∠LEP等于90°∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点O为外心，OL平行等于AH一半（这个小定理我就不证明了）所以OL平行等于PHOLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点 九点圆的来历或许可以由下面的一个性质来说明：过△ABC的垂心H任作其外接圆的两条弦PQ与MN，那么HP,HQ,HM,HN的中点共圆。由于这两条弦可以任意取，就可以找几条特殊的，刚好是关于九点圆的一般定义。

九点圆的性质

九点圆具有许多有趣的性质，例如：1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。

九点圆的证明

求证：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆 最简单的方法是以H(垂心)为位似中心 1/2为位似比作位似变换.简单的说就是对于平面上的任何一个点X 把它变成H与X的中点X'也可以理解为按比例缩小通过这样的变换 我们发现 所有的三角形的顶点都变成了欧拉点.以H和某两个顶点(比如B和C)作一个平行四边形HBL'C 那么由于∠BL'C=∠BHC所以∠BL'C+∠BAC=180°于是ABCL'四点共圆.L'在△ABC的外接圆上.L'变成了L而H关于某条边(如BC)的对称点D' 也由于∠BD'C=∠BHC所以∠BD'C+∠BAC=180°于是ABCD'四点共圆.D'在△ABC的外接圆上.D'变成了D也就是说 在这个位似变换下,有九个在△ABC的外接圆上的点,ABC三点,类似L'的三点,类似D'的三点,一共九个点都在△ABC的外接圆上,他们变成了三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点.当然这九个点都在一个圆上,这个圆就是△ABC的外接圆通过变换后得到的圆---九点圆

怎么证明九点圆定理？

作图如下：△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M, 九点圆
AB边垂足为F，AB边中点为N, 垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R
（思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°）
证明：（由中位线）PM平行CH，LM平行AB，又CH垂直AB
∴PM垂直LM，
又PD垂直LD，∴PMDL共圆。
（由中位线）PR平行AC，LR平行BH，BH垂直AC，所以PR垂直LR
∴PMRDL五点共圆。
PE为直角三角形AHE斜边中线，角PEA等于PAE，
同理角LEC等于LCE
所以角PEL等于180减去PEA,LEC等于90°，
∴PEMRDL六点点共圆，PL为直径，
同理PFNQL五点共圆,PL为直径，
所以PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心

如何学习数学的几何图形问题?

这些公式都是用来证明全等三角形的，出题绝大部分是证明题，有一部分计算也会是在先证明全等后才进行的边角计算等。

一般做几何证明的时候，绝大部分图中不会给全你证明时所要用的全部因素，所以，要能用上相应的公式，必须通过作 辅助线、辅助点 的手段，常用的辅助线有：平行线、中线、中位线、垂直平分线、垂线、角平分线、延长线 等等。辅助点有：中点、重心、垂心、等分点，特殊线的交点等。

所以，根据几何证明要求，必须要学会做辅助线、辅助点，要学会构造。

数学的积累，最有效的还是通过大量做题、练习，需要有讲解详细的参考书，寻找规律。要有发散思维，寻求一题多解，在不同做法中找出关键步骤，然后就是看各步骤所需时间，记住最简便的解法的思想，以后再遇到相似的问题，能很快求解，要知道，合理安排时间也是考试的关键因素。

学习数学几何的方法&技巧

学习首先就是要克制住自己，抵制不良诱惑，一心放在学习上，自己还要对学习感兴趣。不要去想它有多难，其实它是很简单的，学习几何需要一定的想象空间，要有清晰的思路，如果遇到难题自己要能够用多种方法去解题，要慢慢的去试，解几何题就是要试。还有做辅助线，要明确怎样做辅助线，要了解这些，还是要多做题，题做多了就很自然的对一些类型的题有了一定的掌握，做起题来就慢慢的很容易了。主要的还是兴趣，兴趣的养成对于学习几何有很大的帮助。做几何题先由易到难，当祢遇到难题做出来后，自己就会很高兴，有很大的成就感，这样祢会对学习几何很有兴趣的。相信自己，祢一定会学好几何的

怎样才能学好历史和数学？

历史
1、培养对历史的兴趣，兴趣是最好的老师。
2、凭借时间、空间两条线、双坐标牢牢记住历史事件。
3、多看历史方面的书籍，历史故事、人物传记、事件介绍。
4、如果你想学好中国古代史，必需学好古文，牢记实词、虚词的用法，这对于以后想学中国古代史相当有用。
5、平时多看历史有关的书，最好是贯穿时段较长、涉及面较广的通史，有利于建立知识网络和兴趣。
6、做练习很重要，买套卷子，专门做选择题，一道题隔开时间重复做它几遍。
7、简答题，论述题一般需要背点东西，可以根据关键词来记。先把要记的一段文字分开类型，例如记“什么原因”之类，先分开每一段是“政治原因，经济原因，社会原因，文化原因”等等。


怎样才能学好数学呢
一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
三、调整心态，正确对待考试。
首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。
在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。
由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。

九点共圆证明

以下是九点圆的证明
(1) 给任一△ABC
(2) 作△ABC各边中点A1，B1，C1
(3) 作AB的高CF，垂足为F
(4) 证明 A1，B1，C1，F四点共圆
证明：
(Ⅰ)直角△CEF中，A1为斜边中点, A1F=A1B,∠B=∠A1FB
(Ⅱ)A1，B1，C1分为BC，AC，AB中点,据三形中点连线性侃 1B1 AB，且B1C1 BC,□A1，
B1，C1，B为平行四边形,∠B= ∠A1B1C1(对角相等)又已证，故∠A1B1C1=∠A1FB故由定
理(三)得A1，B1，C1，F四点共圆
(5) 同理分作BC，CA上的高，且垂尺D，F，则，DF分别会和三中点
A1，B1，C1共圆
(6) 根据预备知识定理(一)，过A1，B1，C1的圆只有一个，故DEF均在此图上，而得
A1，B1，C1，D，E，F是六点共圆(即三边中点和三高的垂足)
(7) △ABC的三个高AD，BE，CF会交於一点H(垂心)
( 作CH的中点M，则B1，C1，F，M四点共图
(9) 证明B1，C1，F，M四点共圆
证明：(Ⅰ)△CAH中，B1，M分为AC，CH之中点,BM AD，同理B1C1= BC又BC=AD, ∠
MBC=900
探索1 (Ⅱ) ∠AFM=900(AF BA) AFB1+ MB1C1=900+900=1800由预备知识定理(二 ) 得
B1，C1，F，M四点共圆
(10) 同理，分作BH，AH的中点L，K,则A1，B1，C1，D，E，F，Ｍ，L，K九点共圆
(11) 求出圆心N并画圆： 因为M，F，C1均在圆上，且MFC1=900 M C1为直径，同理B1F
为直径,令MC1交B1F於N，则N为圆心，MN为半径，画圆N，得此九点圆 。



九点圆

★三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与重心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine-point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.

九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788-1867〕.也有说是1820-1821年间由法国数学家热而工〔1771-1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.

九点圆具有许多有趣的性质,例如:

1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;

2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.


希望你能看懂，反正我没看懂

平面几何定理

★1、勾股定理（毕达哥拉斯定理） 　　　　★2、射影定理（欧几里得定理） 　　　　★3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 　　　　4、四边形两边中心的连线和两条对角线中心的连线交于一点 　　　　5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 　　　　★6、三角形各边的垂直平分线交于一点。 　　　　★7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 　　　　8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 　　　　9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 　　　　10、（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 　　　　11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上 　　　　12、库立奇大上定理：（圆内接四边形的九点圆） 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 　　★13、（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： ，s为三角形周长的一半 　　　　★14、（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 　　15、中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC分成m和n两段，则有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）　　17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 　　　　18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 　　　　★19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD　　　　★20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 　　　　21、爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 　　　　22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 　　　　★23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1 　　★24、梅涅劳斯定理的逆定理：（略） 　　　　★25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 　　　　★26、梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线 　　　　★27、塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1. 　　　　★28、塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M 　　　　★29、塞瓦定理的逆定理：（略） 　　　　★30、塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点 　　　　★31、塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。　　★32、西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线） 　　　　★33、西摩松定理的逆定理：（略） 　　　　34、史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。 　　　　35、史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。 　　　　36、波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=360°的倍数 　　　　37、波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点 　　　　38、波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。 　　　　39、波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点 　　　　40、波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。 　　　　41、关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。 　　　　42、关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。 　　43、卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。 44、奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。45、清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。46、他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点） 47、朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。　48、从三角形各边的中点，向这条边所的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心。 　　49、一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。 　　　　50、康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。 　　51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。 　　　　52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。 　　　　53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。 　　　　54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。 　　　　55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 　　　　56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。 　　　　57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。 　　58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 　　59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。 　　　　60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。 　　61、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线。

请说明所有几何的定理，有些加证明 谢谢！

1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）2．射影定理（欧几里得定理）3．三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分。4．四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点。5．间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。6．三角形各边的垂直平分线交于一点。7．三角形的三条高线交于一点。8．设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL9．三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。10．（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11．欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上12．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。13．（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=sqrt((s-a)(s-b)(s-c)/s)，s为三角形周长的一半14．（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15．中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16．斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217．婆罗摩笈多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19．托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD20．拿破仑定理：以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21．爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。22．爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。23．梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=124．梅涅劳斯定理的逆定理：（略）25．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。26．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线27．塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.28．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M29．塞瓦定理的逆定理：（略）30．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点31．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。32．西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）33．西摩松定理的逆定理：（略）34．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。35．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。36．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点38．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。39．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点40．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。41．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。42．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。43．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。44．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线45．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线46．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）47．朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。48．九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆，费尔巴哈圆。49．一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。50．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△abc、△def，设它们的对应顶点（a和d、b和e、c和f）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。61、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线。62．秦九韶——海伦公式：已知三角形三边：a,b,c计算三角形面积SS为根号下：p(p-a)(p-b)(p-c) p为该三角形周长的一半63．帕斯卡定理：内接于一个非退化二阶曲线的简单六边形的三对对边的交点共线，这条直线称为帕斯卡直线。64.角平分线上的一点到角两边的距离相等到角两边的距离相等的点在这个角的的平分线上65.垂直平分线上的一点到他所在的线段的两个端点的距离相等到线段的两个端点的距离相等的点在这个线段的垂直平分线上66.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．在直角三角形中，两个锐角互余．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外 心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab=ch．直角三角形垂心位于直角顶点．直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半，即r=a+b-c/2直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项．直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项．由此，直角三角形两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比．含30°的直角三角形三边之比为1：√3：2含45°角的直角三角形三边之比为1：1：√2 在网上找的。应该差不多。不懂的可以追问

九点圆的介绍

三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆。 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。