笛卡尔曲线

谁知道 r=a(1-sinθ）的含义？

心形线的数学表达式。以a=3为例：1.心形线，是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。2.心脏线亦为蚶线的一种。在曼德博集合正中间的图形便是一个心脏线。心脏线的英文名称“Cardioid”是 de Castillon 在1741年的《Philosophical Transactions of the Royal Society》发表的；意为“像心脏的”。扩展资料在数学中，连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。设f是一个从实数集的子集射到 的函数：。f在中的某个点c处是连续的当且仅当以下的两个条件满足：f在点c上有定义。c是中的一个聚点，并且无论自变量x在中以什么方式接近c，f(x) 的极限都存在且等于f(c)。我们称函数到处连续或处处连续，或者简单的连续，如果它在其定义域中的任意点处都连续。更一般地，我们说一个函数在它定义域的子集上是连续的当它在这个子集的每一点处都连续。不用极限的概念，也可以用下面所谓的 方法来定义实值函数的连续性。仍然考虑函数。假设c是f的定义域中的元素。函数f被称为是在c点连续当且仅当以下条件成立：对于任意的正实数，存在一个正实数δ> 0 使得对于任意定义域中的，只要x满足c - δ< x < c + δ，就有成立。

r=a(1-sinθ)是什么意思

著名法国数学家笛卡尔写给一名叫克丽丝汀的公主的情书。她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。当她听到笛卡尔说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把笛卡尔邀请回宫。笛卡尔就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有笛卡尔这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。 因此笛卡尔被放逐回法国，克丽丝汀被父亲软禁。笛卡尔一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。笛卡尔不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收到笛卡尔的信……在笛卡尔快要死去的时候，他寄出了这封第信，当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。
当克丽丝汀收到这封信时，雀跃无比，她很高兴她的爱人还是在想念她的。她立刻动手研究这行字的秘密。没多久就解出来了，用的就是直角坐标图（yxh注：实际上是极坐标系）

当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a …… A点

当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0 …… B点

当θ＝180°时，r＝a(1－0)＝a …… C点

当θ＝270°时，r＝a(1＋1)＝2a …… D点

将整个曲线图作出来，就是有名的心脏线！
这就是笛卡尔和克丽丝汀之间秘密数学式…… 水平方向： r=a(1-cosθ)或r=a(1+cosθ) (a>0) 或

垂直方向： r=a(1-sinθ)或r=a(1+sinθ) (a>0)

平面直角坐标系表达式分别为x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2)和x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

这个坐标式由于它的图像像心而又被叫做“心形线”。

心形函数图像，写成f（x）的形式

心形线的平面直角坐标系方程表达式分别为 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）。极坐标方程：水平方向： ρ=a(1-cosθ) 或 ρ=a(1+cosθ) (a>0)。垂直方向： ρ=a(1-sinθ) 或 ρ=a(1+sinθ) (a>0)。扩展资料：心形线的由来：笛卡尔在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a(1-sinθ）。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，将全城的数学家召集到皇宫，但没有一个人能解开，他不忍心看着心爱的女儿整日闷闷不乐，就把这封信交给一直闷闷不乐的克里斯汀。公主看到后，立即明了恋人的意图，她马上着手把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，她知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的“心形线”。心形线的面积：-pi<=t<=pi 或 0<=t<=2*pi。x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))。y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))。所围面积为3/2*PI*a^2，形成的弧长为8a。所围面积的求法：以ρ=a(1+cosθ)为例。令面积元为dA，则：dA=1/2*a∧2*(1+cosθ)∧2*dθ。运用积分法上半轴的面积得：A=∫(π→0)1/2*a∧2*(1+cosθ)∧2*dθ。=3/4*a∧2*π所以整个心形线所围成的面积S=2A=3/2*a∧2*π。参考资料来源：百度百科-心形线

笛卡尔叶形线的公式是如何推导出的，请详细回答。多谢

在直角坐标系。xy的轴上分别给出点p1:(0，a)，p2(a，0)，以及与x轴成45。的直线m，然后按下述步骤作图:过o任作直线l (动直线);过p1，作折线p1，q1，r1，a1，p1q1//X，q1r1// Y，r1a1//X，点,Q1,A1属于l;R1属于m同理 过 p2做 p2,q2,r2,a2在直线l上作出一点M，使满足(OM，A1A2)=一1，则点M轨迹就是笛卡尔叶形线至于最后的(OM，A1A2)=一1 其实就是A1M/OA1=-A2M/OA2

笛卡尔叶形线的水平参数方程

如图所示：是植物在大自然中长期适应和进化的结果，因为植物所显示的数学特征是植物在生长在动态过程中必然会产生的结果，它受到数学规律的严格约束。植物离不开裴波那契数列，就像盐的晶体必然具有立方体的形状一样。由于该数列中的数值越靠后越大，因此两个相邻的数字之商将越来越接近0.618034这个值，例如34/55=0.6182，已经与之接近，这个比值的准确极限是“黄金数”。扩展资料：设x=rcosθ ,y=rsinθ。则 (rcosθ）^3+(rsinθ)^3=2ar^2cosθ sinθ。r=2acosθsinθ/(cosθ ^3+ sinθ^3)。当θ∈{0，π/2}时，r≥0,且当θ=0及θ=π/2时,r=0。所以θ=0到θ=π/2叶形线位于第一象限部分所围的面积，即为所求面积。S=0.5*∫(0,π/2){4*a*r^(sinθ)^2(cosθ)^2}/{(sinθ)^3+(cosθ)^3}^2。参考资料来源：百度百科-笛卡儿叶形线